В 1975 году окончил среднюю школу села Орджоникидзе Гудаутского района.
С 1979 по 1981 год проходил срочную службу в рядах Советской армии. С 1981 по 1983 год учился в Чебоксарской школе милиции МВД СССР.
С 1983 по 1991 год Дзапшба работал в УВД Томского облисполкома на различных должностях оперативного состава: оперуполномоченным, старшим оперуполномоченным, начальником отделения уголовного розыска. С 1988 по 1991 год учился в Омской академии МВД СССР.
С 1991 года Дзапшба работал на различных оперативных должностях МВД Абхазской АССР: оперуполномоченным, затем старшим оперуполномоченным уголовного розыска МВД.
В сентябре 1993 года назначен начальником отдела оперативного реагирования МВД Абхазии.
С октября 1993 года Леонид Дзапшба — заместитель министра внутренних дел Абхазии и одновременно — начальник управления внутренних дел города Сухум.
Указом президента Абхазии Владислава Ардзинба 10 июля 1996 года Леонид Дзапшба назначен на должность заместителя председателя Службы безопасности Абхазии.
С 2002 по 2010 год Дзапшба – первый заместитель министра по налогам и сборам Абхазии. В 2007 году президент Федерации футбола Абхазии.
22 сентября 2010 года указом президента Абхазии Леонид Дзапшба назначен министром внутренних дел Абхазии.
20 октября 2011 года Леонид Дзапшба ушел в отставку с поста министра внутренних дел Абхазии.
В 2014 году участвовал в досрочных президентских выборах президента республики.
С 9 октября 2015 по 5 июля 2016 года вновь был назначен на должность министра внутренних дел Абхазии.
В 2019 году Леонида Дзапшба участвовал в выборах президента Абхазии, был зарегистрирован от партии "Акзаара".
По результатам первого тура голосования Дзапшба набрал 5,7% голосов избирателей и выбыл из президентской гонки.