Александр Анкваб родился 26 декабря 1952 года в Абхазской АССР.
В 1974 году Анкваб окончил юридический факультет Ростовского государственного университета. Молодой специалист начал профессиональную деятельность в Министерстве юстиции Абхазской АССР, был первым секретарем Гудаутского райкома комсомола, начальником Гудаутского районного отдела внутренних дел.
С 1983 по 1990 годы Анкваб был заместителем министра внутренних дел Грузинской ССР, но из-за роста антиабхазских настроений среди грузинского руководства подал рапорт об увольнении и вернулся в Абхазию.
В 1991 году он был избран депутатом Верховного Совета Абхазии, в период Отечественной войны народа Абхазии 1992-1993 годов был членом Государственного комитета обороны республики.
С 1994 по 2004 годы Анкваб проживал в Москве, занимался бизнесом.
В 2005 году он занял должность премьер-министра Абхазии и занимал ее до 2010 года. В феврале 2010 года Анкваб стал вице-президентом, а в августе 2011 – президентом Абхазии, занимал этот пост до 2014 года.
В 2017 году Александр Анкваб стал депутатом Народного Собрания Абхазии, а в 2020 году был назначен премьер-министром республики.
Анкваб женат, отец двоих сыновей.